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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13158263112102--
%%--Courbes symétriques par changement de repère--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\section{Pr\'{e}liminaires}

Le plan est muni d'un rep\`{e}re orthogonal $\mathcal{R=}\left(
O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  $, $f$ est une fonction
num\'{e}rique de courbe repr\'{e}sentative $C_{f}$\textbf{\ dont une
\'{e}quation dans ce rep\`{e}re} est $y=f(x)$.

On consid\`{e}re le point $A$ de coordonn\'{e}es $(a;b)$ dans $\mathcal{R}$ et
l'on note $\mathcal{R}^{\prime}$ le rep\`{e}re $\left(  A;\overrightarrow
{i};\overrightarrow{j}\right)  .$

Un point $M$ du plan a des coordonn\'{e}es dans les deux rep\`{e}res
$\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}^{\prime}$: notons ($x;y)$ les coordonn\'{e}es de
$M$ dans $\mathcal{R}$ et $(X;Y)$ ses coordonn\'{e}es dans $\mathcal{R}%
^{\prime}$.%

%TCIMACRO{\FRAME{dtbpFU}{196.125pt}{147.3125pt}{0pt}{\Qcb{$%
%\begin{array}
%[c]{c}%
%M\text{ a pour coordonn\'{e}es }(x;y)\text{ dans }\left(  O;\overrightarrow
%{i};\overrightarrow{j}\right)  .\\
%M\text{ a pour coordonn\'{e}es }(X;Y)\text{ dans }\left(  A;\overrightarrow
%{i};\overrightarrow{j}\right)  .
%\end{array}
%$}}{}{Figure}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=147.3125pt,
width=196.125pt
]%
{Include/i3fgxmf5.eps}%
\\
$%
\begin{array}
[c]{c}%
M\text{ a pour coordonn\'{e}es }(x;y)\text{ dans }\left(  O;\overrightarrow
{i};\overrightarrow{j}\right)  .\\
M\text{ a pour coordonn\'{e}es }(X;Y)\text{ dans }\left(  A;\overrightarrow
{i};\overrightarrow{j}\right)  .
\end{array}
$%
\end{center}
%EndExpansion


D'un point de vue vectoriel, on a donc les \'{e}galit\'{e}s:%
\[
\overrightarrow{OA}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}\text{\quad;\quad
}\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\text{\quad;\quad
}\overrightarrow{AM}=X\overrightarrow{i}+Y\overrightarrow{j}.
\]


La relation de Chasles $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}%
+\overrightarrow{AM}$ permet de d\'{e}duire \textbf{les formules de changement
de rep\`{e}re:}%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x=X+a\\
y=Y+b
\end{array}
\right.  .
\]


En rempla\c{c}ant $x$ et $y$ par leur valeur en fonction de $X$ et $Y$ dans
l'\'{e}quation de $\mathcal{C}_{f}$ dans le rep\`{e}re $\mathcal{R=}\left(
O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  $ on obtient l'\'{e}quation de
$\mathcal{C}_{f}$ dans le rep\`{e}re $\mathcal{R}^{\prime}\mathcal{=}\left(
A;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  .$ Notons $Y=g(X)$ cette \'{e}quation.

Nous avons alors les propri\'{e}t\'{e}s suivantes:

\begin{itemize}
\item \textbf{Si }$g$ \textbf{est paire alors }$\mathcal{C}_{f}$ \textbf{est
sym\'{e}trique par rapport \`{a} l'axe vertical }$(A;\overrightarrow{j});$

\item \textbf{Si }$g$ \textbf{est impaire alors }$\mathcal{C}_{f}$ \textbf{est
sym\'{e}trique par rapport au point }$A.$

(\textit{les r\'{e}ciproques sont vraies mais moins int\'{e}ressantes)}
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item[ ] \emph{Exemple:} Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'\'{e}quation
$y=(x+1)^{2}-1$ dans un rep\'{e}re $\left(  O;\overrightarrow{i}%
;\overrightarrow{j}\right)  $ et $A$ de coordonn\'{e}es $(-1;-1)$ dans ce
m\^{e}me rep\`{e}re. Les formules de changement de variables sont $x=X-1$ et
$y=Y-1$; donc une \'{e}quation de $\mathcal{C}$ dans $\left(
A;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  $ est $Y-1=(X-1+1)^{2}-1$ ie
$Y=X^{2}.$

Or la fonction $x\mapsto x^{2}$ est paire, donc $\mathcal{C}$ est
sym\'{e}trique par rapport \`{a} l'axe $(A;\overrightarrow{j})$ d'\'{e}quation
$x=-1$ dans $\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
$.\newpage
\end{enumerate}

\section{Applications}

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{H}$ la courbe repr\'{e}sentative dans un rep\'{e}re
orthogonal $\mathcal{R=}\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow
{j}\right)  $ de la fonction $f$\newline d\'{e}finie sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\backslash\{-2\}$ par:%
\[
f(x)=\frac{x+1}{x+2}.
\]


\begin{enumerate}
\item \`{A} l'aide d'un grapheur, d\'{e}terminer les coordonn\'{e}es d'un
point $A$ qui \textbf{semble} \^{e}tre centre de sym\'{e}trie de $\mathcal{H}
$.

\item En prenant $\mathcal{R}^{\prime}=\left(  A;\overrightarrow
{i};\overrightarrow{j}\right)  $ comme nouveau rep\`{e}re, v\'{e}rifier que
les formules de changement de rep\`{e}re sont:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x=-2+X\\
y=1+Y
\end{array}
\right.
\]


o\`{u} $(x;y)$ sont les coordonn\'{e}es d'un point $M$ dans $\mathcal{R}$ et
$(X;Y)$ les coordonn\'{e}es de ce m\^{e}me\newline point $M$ dans
$\mathcal{R}^{\prime}$.

\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer l'\'{e}quation de $\mathcal{H}$ dans $\mathcal{R}%
^{\prime}$.

\item D\'{e}montrer que $\mathcal{H}$ est sym\'{e}trique par rapport \`{a} $A
$.\smallskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'\'{e}quation $y=\sqrt{x^{2}+2x+2}$ dans
un rep\`{e}re orthogonal $\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow
{j}\right)  .$ Conjecturer un axe de sym\'{e}trie pour $\mathcal{C}$, puis
d\'{e}montrer cette conjecture.
\end{enumerate}


\end{document}